Chuyên đề : Làm mạnh BĐT CôSy

Đầu tiên , ta nhắc lại BĐT Côsi quá quen thuộc :

$1$, $\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\iff (a-b{)}^2\ge 0$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$ 

Những BĐT mở rộng khác của BĐT Côsi : 

Với $a,b,c>0$ ta có :

$2$, $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ 

$3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

$4$, $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c$

$5$, $a^3+b^3\ge ab(a+b)$ 

$6$, $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca$ 

$7$, $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ 

Những BĐT này khá quen thuộc và chứng minh dễ dàng bằng BĐT Côsi hoặc chứng minh tương đương.

Nảy sinh từ các BĐT này cùng với BĐT đơn giản là : 

Nếu $k\ge 0$ thì $(1-\alpha )k\ge 0(0\le \alpha \le 1)$

Ta xây dựng được những BĐT mạnh hơn :

Với $a,b,c>0;0\le \alpha ,\beta ,\gamma \le 1$ 

$\bullet$ $a^2+b^2\ge 2ab+\alpha (a-b{)}^2$ (1)

$\bullet$ $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+\frac{\alpha }{2}(a-b{)}^2+\frac{\beta }{2}(b-c{)}^2+\frac{\gamma }{2}(c-a{)}^2$ (2)

BĐT $\left(1\right)\iff (1-\alpha )(a-b{)}^2\ge 0$

Cộng từng vế của các BĐT 

$a^2+b^2\ge 2ab+\alpha (a-b{)}^2$

$b^2+c^2\ge 2bc+\beta (b-c{)}^2$

$c^2+a^2\ge 2ca+\gamma (c-a{)}^2$

Ta được BĐT (2).

$\bullet$ $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge (a+b+c)+\frac{\alpha }{b}(a-b{)}^2+\frac{\beta }{c}(b-c{)}^2+\frac{\gamma }{a}(c-a{)}^2$ (3)

Cộng từng vế các BĐT :

$\frac{a^2}{b}+b\ge 2a+\frac{\alpha }{b}(a-b{)}^2$

$\frac{b^2}{c}+c\ge 2b+\frac{\beta }{c}(b-c{)}^2$

$\frac{c^2}{a}+a\ge 2a+\frac{\gamma }{a}(c-a{)}^2$

Ta được BĐT (3)

$\bullet$ $a^{m+n}+b^{m+n}\ge \frac{1}{2}(a^m+b^m)(a^n+b^n)+\frac{\alpha }{2}(a^m-b^m)(a^n-b^n)$ (4) 

$BĐT\iff (1-\alpha )(a^m-b^m)(a^n-b^n)$

$\bullet$ $a^3+b^3\ge ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^2-b^2)(a-b)$ (5)

Chứng minh : Ta có $\frac{a^3+b^3}{2}\ge (\frac{a+b}{2}{)}^3+\frac{\alpha }{4}(a^2-b^2\left)\right(a-b)$

$\iff 4(a^3+b^3)\ge a^3+b^3+3ab(a+b)+2\alpha (a^2-b^2)(a-b)$

$\iff a^3+b^3\ge ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^2-b^2)(a-b)$ (ĐPCM)

$\bullet$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4-8\alpha }{a+b}+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}$ (6)

Chứng minh : Nhân theo vế của $2$ BĐT :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{2}{\sqrt{ab}}+\alpha (\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}{)}^2$

$a+b\ge 2\sqrt{ab}+\alpha (\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2$

Ta được $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\ge 4+\frac{2\alpha }{\sqrt{ab}}(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2+2\alpha \sqrt{ab}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}{)}^2+{\alpha }^2(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}{)}^2(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2$

$\Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\ge 4+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=4+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}(a+b-2\sqrt{ab})\ge 4-8\alpha +\frac{4\alpha (a+b)}{\sqrt{ab}}$

Suy ra ĐPCM

$\bullet$ $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca+\frac{2\alpha }{3b}(a^2-b^2)(a-b)+\frac{2\beta }{3c}(b^2-c^2)(b-c)+\frac{2\gamma }{3a}(c^2-a^2)(c-a)$ (7)

Cộng vế với vế các BĐT : (áp dụng BĐT (5) )

$\frac{a^3}{b}+b^2\ge a^2+ab+\frac{2\alpha }{3b}(a^2-b^2)(a-b)$

$\frac{b^3}{c}+c^2\ge b^2+bc+\frac{2\beta }{3c}(b^2-c^2)(b-c)$

$\frac{c^3}{a}+a^2\ge c^2+ca+\frac{2\gamma }{3a}(c^2-a^2)(c-a)$

Thu được BĐT (7)

Bài tập áp dụng :

Bài tập $1$ : Với $0<a,b,c\le 1$ , chứng minh rằng :

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+\frac{1}{3}(a-b{)}^2+\frac{1}{4}(b-c{)}^2+\frac{1}{5}(c-a{)}^2$

Làm trước $1$ bài nhé :

Sử dụng BĐT (2) , ta chọn $\alpha =\frac{2}{3},\beta =\frac{1}{2},\gamma =\frac{2}{5}$

Bài tập $2$ : Với $0<a,b,c\le 1$ chứng minh :

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+\frac{a(a-b{)}^2}{2(a+b)}+\frac{b(b-c{)}^2}{2(b+c)}+\frac{c(c-a{)}^2}{2(c+a)}$

Bài tập $3$ : Với $a\ge 2b\ge 4c>0$ , chứng minh

$a^2+3b^2+5c^2\ge 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{a}(b^3+c^3)+\frac{c^3}{b}$

Bài tập $4$ : Với $a,b,c>0,a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 1+(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2$

Bài tập $5$ : Với $a,b,c>0$ , chứng minh rằng :

$\sum \sqrt[3]{32(a^3+b^3)-a(a-b{)}^2}\ge \sqrt[3]{34}(a+b+c)$

Bài tập $6$ : Với $a,b,c>0,\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=3$ . Chứng minh rằng :

$P=2(\sum \frac{1}{a+b})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})\le 18$

Author : Sữa nghệ

Share this

Related Posts