Chuyên đề Phần nguyên

PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ THỰC


A. ĐỊNH NGHĨA

Ta biết rằng, mọi số thực $x$ đều có thể viết được dưới dạng

$x=n+z$

trong đó $n$ là số nguyên và $0\le z\le 1$

Chẳng hạn:

$7,9=7+0,9$
$-7,9=-8+0,1$

Hơn nữa, cách viết như trên là duy nhất. Ta gọi số nguyên $n$ là phần nguyên của $x$ và kí hiệu là $\left[x\right]$; còn $z$ được gọi là phần phân của $x$ và kia hiệu là $\left\{x\right\}$.

Từ phân tích, ta rút ra định nghĩa
Định nghĩa: Phần nguyên của số thực $x$, kí hiệu là $\left[x\right]$, là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Phần phân của số thực $x$ được định nghĩa bởi $\left\{x\right\}=x-\left[x\right]$.

Ngoài cách gọi thông thường là phần nguyên (intergal part) của $x$ với kí hiệu là $\left[x\right]$, một số tác giả nước ngoài còn gọi đó là floor function và kí hiệu là $\lfloor x\rfloor$. Sở dĩ thế vì người ta nêu ro ceiling function - kí hiệu $\lceil x\rceil$, như định nghĩa sau đây

$\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất vượt quá $x$

Dễ dàng thấy rằng

$\lceil x\rceil =\{\begin{array}{ccc}x=\lfloor x\rfloor ;x\in Z& & \\ \lceil x\rceil +1;x\notin Z& & \end{array}$

B. TÍNH CHẤT

1) $x=\left[x\right]+\left\{x\right\}$
2) $x=\left[x\right]\iff x\in Z$
3) $x=\left\{x\right\}\iff 0\le x<1$
4) $x-1<\left[x\right]\le x$
5) Nếu $k$ nguyên thì

$[x+k]=\left[x\right]+k$ và $\left\{x+k\right\}=\left\{x\right\}+k$

Bạn hãy tập chứng minh những tính chất này đi!

Xin đưa thêm một số tính chất
6) $[x+y]\ge \left[x\right]+\left[y\right]$
7) $\left[x\right]\le x<\left[x\right]+1$
8) Nếu $x\ge y$ thì $\left[x\right]\ge \left[y\right]$

9) $0\le \left\{x\right\}<1$
10) $\left\{x+y\right\}\le \left\{x\right\}+\left\{y\right\}$

Chứng minh tính chất 6
Viết $x=\left[x\right]+\left\{x\right\},y=\left[y\right]+\left\{y\right\}$
Khi đó
$[x+y]=\left[\right(\left[x\right]+\left[y\right])+(\left\{x\right\}+\left\{y\right\}\left)\right]=\left[x\right]+\left[y\right]+[\left\{x\right\}+\left\{y\right\}]$. (1)
Vì $\left\{x\right\}\ge 0$ và $\left\{y\right\}\ge 0$ nên $[\left\{x\right\}+\left\{y\right\}]\ge 0$.
Kết hợp với (1) ta suy ra

$[x+y]\ge \left[x\right]+\left[y\right]$

Chứng minh tính chất 8
Vì $x\ge y$ nên $\exists \alpha \ge 0$ sao cho:

$x=y+\alpha$ hay $x=\left[y\right]+(\left\{y\right\}+\alpha )$.

Suy ra $\left[x\right]=\left[y\right]+\left[\right(\left\{y\right\}+\alpha \left)\right]$. (1)
Vì $\alpha \ge 0$ và $\left\{y\right\}\ge 0$ nên $\left\{y\right\}+\alpha \ge 0$ và $\left[\right(\left\{y\right\}+\alpha \left)\right]\ge 0$.
Kết hợp với (1) ta có $\left[x\right]\ge \left[y\right]$.

Xin giới thiệu thêm một số tính chất khá là thú vị
1) Giả sử $0<\alpha \in R$ và $n\in N$. Lúc đó $\left[\frac{\alpha }{n}\right]$ là số tất cả các số nguyên dương là bội của $n$ nhưng không vượt quá $\alpha$.
2) Giả sử $0<\alpha \in R$ và $n\in N$. Lúc đó,

$\left[\frac{n}{\alpha }\right]$

là số tất cả các số nguyên dương là bội của $\alpha$ nhưng không vượt quá $n$.
3) Nếu $a$ và $b$ là hai số không âm, thì

$\left[2a\right]+\left[2b\right]\ge \left[a\right]+\left[b\right]+[a+b]$

Author : Unknown

Share this

Related Posts